Perluasan persamaan gelombang

Sekarang, marilah kita memperluas persamaan gelombang yang sederhana dalam ruang satu dimensi ke dalam kasus-kasus yang umum.

(a) Perluasan pada ruang tiga dimensi

Perluasan dari satu dimensi menjadi tiga dimensi memerlukan 3 koordinat x, y dan z dalam tempat di mana sebelumnya hanya terdapat satu variabel x. Ini menjadi fungsi gelombang yang
dinyatakan sebagai Ψ(x, y, z, t) dari fungsi gelombang yang dinyatakan dengan Ψ(x,t) . Karenanya kecepatan v dan momentum p dinyatakan sebagai vektor-vektor dengan 3 komponen, masing-masing adalah (v_x, v_y, v_z) dan (p_x, p_y, p_z). Rumus pengganti yang berkaitan dengan persamaan (1.33) diperluas menjadi sebagai berikut.

(1.53)

Untuk sebuah partikel dengan masa m dalam ruang 3 dimensi, energi kinetik yang diperlukan untuk menghasilkan operator Hamiltonian diekspresikan sebagai berikut.

Dengan, Δ adalah sebuah operator yang disebut sebagai Laplacian. Ekspresinya dalam satu dimensi adalah

dan untuk 3 dimensi

Dengan simbol Laplacian Δ, Hamiltonian untuk sebuah partikel dengan masa m tanpa memperhatikan dimensi dalam ekspresi yang sama dapat ditulis sebagai berikut

(1.54)

Perlu dicatat bahwa energi potensial U untuk satu dimensi atau tiga dimensi masing-masing adalah U(x) atau U(x,y,z).
Laplacian Δ dapat diganti dengan ∇² atau ∇ · ∇ , di mana ∇ adalah sebuah simbol matematika yang disebut sebagai nabla dan diberikan oleh rumusan berikut.

Sehingga, Laplacian Δ akan sama dengan sebuah produk dalam (inner product) atau sebuah produk skalar.

(1.55)

Meskipun kedua ekspresi ini dapat digunakan, pada buku ini Δ akan digunakan.

(b) Perluasan untuk sistem N buah partikel

Fungsi gelombang dari sebuah sistem dengan N buah partikel adalah sebuah fungsi yang terdiri dari 3N buah koordinat ruang (x₁, y₁, z₁,…, x_N, y_N, z_N) serta waktu t dan ini mengandung informasi tentang probabilitas untuk menemukan partikel. Adalah lebih mudah untuk menggunakan simbol q sebagai ganti dari 3N buah variabel. Fungsi gelombang Ψ(q,t) untuk sistem dengan N buah partikel memenuhi persamaan gelombang yang sama sebagaimana dengan fungsi gelombang untuk satu partikel.

(1.56)

Keadaan yang mungkin yang terjadi pada dunia riil hanya terbatas pada Ψ yang memenuhi persamaan ini dan disebut sebagai sebuah keadaan eigen. Probabilitas untuk menemukan setiap partikel dalam suatu volume dx_idy_idz_i yang berkorespondensi dengan suatu daerah tertentu pada x_i ~ x_i + dx_i , y_i ~ y_i + dy_i, z_i ~ z_i + dz_i diberikan untuk keadaan eigen Ψ adalah

(1.57)

Integrasi dari persamaan (1.57) pada seluruh daerah p ada ruang berdimensi 3N haruslah sama dengan 1, karena ini adalah penjumlahan total dari probabilitas (kondisi normalisasi)

(1.58)

Di sini,

(1.59)

Merepresentasikan suatu elemen volume yang memiliki dimensi 3N dan berkorespondensi dengan integrasi harus diambil untuk seluruh variabel sebanyak 3N dan seluruh ruang. Integral dalam persamaan (1.58) secara sederhana diekspresikan dengan ∫ tunggal dan tidak dengan 3N ∫, dan ini berhubungan dengan penyingkatan elemen volume dq. Daerah integrasi untuk setiap variabel x_i, y_i dan z_i adalah dari -∞ hingga ∞.
?? dalam persamaan (1.56) adalah operator Hamiltonian untuk sebuah sistem N buah partikel, di mana dapat dengan mudah dibangun dari ekspresi energi klasik dari fungsi Hamilton H(p,q,t) dengan menggunakan rumus penggantian sebagai berikut untuk pada besaran momentum p.

(1.60)

Dengan demikian,

(1.61)

Untuk keadaan stasioner di mana H(p,q,t) = E (sebuah konstanta pada setiap waktu t),

(1.62)

(1.63)

(1.64)

Kondisi normalisasi untuk ψ(q) adalah

(1.65)