Keadaan stasioner dan persamaan nilai eigen

Jika energi E bebas terhadap waktu t, probabilitas untuk menemukan sebuah partikel juga akan bebas terhadap waktu t. Keadaan yang bebas terhadap waktu disebut sebagai keadaan stasioner. Ketika energi E adalah konstan, tidak bergantung dengan waktu, maka persamaan (1.28) akan mudah untuk diintegrasi terhadap waktu untuk menghasilkan persamaan berikut

(1.39)

Simbol ψ(x) adalah konstanta integrasi yang muncul dari integrasi terhadap waktu t dan dengan demikian ψ(x) akan bebas terhadap waktu meskipun ia akan bergantung pada posisi x. Meskipun fungsi gelombang untuk keadaan stasioner Ψ(x,t) dalam persamaan (1.39) berosilasi sebagai sebuah fungsi terhadap t, kuadrat dari nilai absolut dari Ψ(x,t) , yang merupakan produk dari Ψ(x,t)∗Ψ(x,t) akan tetap konstan.

Karenanya, probabilitas untuk menemukan sebuah partikel dalam keadaan stasioner adalah bebas terhadap waktu t dan menghasilkan perhitungan yang sama bahkan jika fungsi ψ(x) yang bebas terhadap waktu itu digunakan untuk menggantikan Ψ(x,t). Dengan demikian ψ(x) disebut sebagai fungsi gelombang dari keadaan stasioner. Dengan memasukkan Ψ(x,t) pada persamaan (1.39) ke dalam persamaan gelombang (1.35) dan kemudian melakukan pengaturan pada perumusan tersebut kita akan mendapatkan

(1.40)

Sehingga persamaan berikut merupakan fungsi gelombang dari keadaan stasioner ψ(x) dan dinyatakan dengan

(1.41)

Persamaan ini disebut sebagai persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner atau persamaan Schrödinger bebas waktu.
Contoh 1.10 Tuliskan persamaan Shrödinger bebas waktu untuk sebuah osilator harmonik satu dimensi yang mengandung sebuah partikel dengan masa m dan bergerak sepanjang sumbu-x di bawah pengaruh gaya potensial U(x) = ½kx² (k > 0).
(Jawaban) Persamaan Schrödinger bebas waktu dinyatakan sebagai ??ψ = Eψ . Dalam kasus ini gerak partikel dibatasi hanya pada sumbu-x, sehingga fungsi gelombang adalah sebuah fungsi terhadap x dan direpresentasikan sebagai ψ = ψ(x). Hamiltonian ?? yang ada pada sistem ini ada pada sistem ini diperoleh dari fungsi Hamilton H yang terdiri dari penjumlahan atas energi kinetik dan energi potensial. Untuk sistem ini, momentum p dari partikel akan menjadi energi kinetik p² / 2m dan energi potensialnya adalah ½kx² dan kita akan mendapatkan

Dengan demikian Hamiltonian ?? dapat diturunkan dengan mudah hanya dengan mengganti momentum p dengan operator = −ih∂ / ∂x dalam ekspresi terhadap H. Penggantian ini harus dilakukan dua kali untuk p² / 2m dan kita akan mendapatkan

Energi potensial ½kx² dapat digunakan langsung karena tidak mengan dung momentum p. Karenanya Hamiltonian ?? dapat dinyatakan sebagai berikut

Dengan memasukkan Hamiltonian ?? ini ke dalam ??ψ = Eψ, persamaan Schrödinger bebas waktu untuk osilator harmonik satu dimensi dinyatakan sebagai berikut

Catatan: F( x) = −dU(x)/dx = −kx (k > 0) merepresentasikan gaya yang bekerja pada partikel. Sebuah partikel dalam osilator harmonik akan menerima gaya kembali (gaya balik) yang sebanding dengan jarak dari titik setimbangnya dan berosilasi di sekitar titik seimbangnya. Pergeseran sebuah benda elastis seperti pegas adalah sebanding dengan gaya yang bekerja padanya. Hal ini dikenal sebagai hukum Hooke.
dan ?? adalah operator yang masing-masing berhubungan dengan momentum dan energi. Sebuah operator yang berhubungan dengan sebuah satuan sembarang yang dapat diamati F(,x) dapat dimasukkan sebagai F(p,x) dengan memasukkan persamaan (1.33) ( = −h∂/∂x pada posisi p) ke dalam F(p,x). Operator berhubungan dengan sebuah koordinat kartesian x dan dinyatakan secara sederhana dengan = x , karena tidak ada faktor momentum p dalam x.
Secara umum, pilihan yang tepat dari sebuah fungsi φ akan menghasilkan Fφ yang berbanding dengan φ dan sama terhadap suatu konstanta yang dikalikan dengan φ.

(1.42)

Perkalian konstanta f adalah nilai eigen dari operator dan fungsi φ adalah nilai eigen dari operator yang berkorespondensi dengan nilai eigen f. Ketika beberapa fungsi eigen (contoh φ₁ dan φ₂) berkaitan dengan nilai eigen f yang sama saling bebas linier satu dengan lainnya (contoh φ₁ tidak proporsional dengan φ₂) nilai eigen f dikatakan sebagai generate. Jumlah dari fungsi eigen yang saling bebas berkaitan dengan nilai eigen yang sama disebut sebagai tingkat degenerasi. Persamaan (1.42) termasuk di dalamnya sebuah himpunan yang terdiri dari fungsi eigen φ dan nilai eigen f untuk operator disebut sebagai persamaan nilai eigen dari . Persamaan gelombang (1.41) untuk keadaan stasioner (persamaanschrödinger bebas waktu) adalah persamaan nilai eigen dari operator Hamiltonian ?? yang berhubungan dengan energi. Persamaan (1.41) memberikan himpunan fungsi eigen φ dan nilai eigen E untuk energi yang mungkin terjadi.
Dalam keadaan stasioner, energi E dan probabilitas untuk menemukan partikel adalah bebas terhadap waktu t. Akan tetapi, kita tidak harus memikirkan bahwa partikel tersebut diam pada suatu posisi tertentu. Bahkan dalam keadaan stasioner, gerak sebuah partikel harus diperhitungkan sebagai osilasi dari faktor fasa pada persamaan (1.39) yang memenuhi persamaan gelombang bebas waktu pada persamaan (1.35).

Mulyono Blog's