Fungsi gelombang dan probabilitas menemukan partikel

Pada efek fotolistrik, intensitas cahaya (kuadrat dari amplitude gelombang elektromagnetik) yang semakin meningkat akan semakin meningkatkan jumlah foton secara linier. Dinyatakan kemudian bahwa jumlah foton adalah sebanding dengan kuadrat dari amplitude. Pada tahun 1926, Born memperluas ide ini dengan mengusulkan bahwa kuadrat dari nilai absolut dari fungsi gelombang Ψ adalah sebanding dengan probabilitas untuk mendapatkan partikel tersebut. Nilai absolut harus digunakan untuk persamaan gelombang karena gelombang dapat berupa sebuah fungsi kompleks dan bukan hanya sebuah fungsi yang riil. Kuadrat dari nilai absolut sebuah fungsi gelombang kompleks Ψ diperoleh dengan persamaan berikut.

(1.36)

Dengan Ψ* sebagai konjugat kompleks dari Ψ dan ini diberikan melalui penggantian yang sederhana dari setiap unit imajiner i yang terdapat pada ekspresi matematik Ψ dengan −i.

(1.37)

Probabilitas untuk menemukan sebuah partikel yang bergerak sepanjang sumbu x pada suatu daerah tertentu antara x dan x + dx dinyatakan sebagai |Ψ(x,t)|²dx dengan menggunakan fungsi gelombang Ψ(x,t). Karena probabilitas untuk menemukan partikel pada daerah antara x = -∞ hingga x = +∞ adalah sama dengan 1, maka integral berikut harus sama dengan 1.

(1.38)

Ini disebut sebagai kondisi renormalisasi dari sebuah fungsi gelombang. Jika kondisi ini dipenuhi, maka fungsi gelombang tersebut dikatakan ternormalisasi.
Ketika sebuah fungsi gelombang merupakan solusi dari persamaan (1.35), setiap perkalian dari fungsi gelombang tersebut dengan konstanta yang sembarang juga akan menghasilkan fungsi gelombang yang menjadi solusi dari persamaan (1.35). Solusi-solusi dari persamaan gelombang karenanya dikatakan bersifat sembarang terhadap konstanta. Kondisi renormalisasi menghilangkan sifat kesembarangan dari fungsi gelombang kecuali terhadap tandanya. Dalam kasus fungsi gelombang kompleks, makna ganda terhadap faktor fasa dengan e^iθ tidak akan berubah. Akan tetapi, faktor fasa tidak akan merubah kuadrat dari nilai absolut dan arti fisis dari persamaan gelombang tidak relevan dengan faktor fasa. Dengan demikian. Kita boleh memilih nilai secara sembarang nilai θ dari faktor fasa, sebagai contoh θ dapat dipilih sama dengan 0.
Karena turunan pertama dari fungsi gelombang ini berhubungan dengan energi E dan momentum p menurut persamaan (1.28)−(1.29), fungsi gelombang yang menyatakan sebuah keadaan dengan energi yang finit dan momentum yang harus bersifat kontinyu terhadap waktu dan posisi. Ini adalah sifat yang penting dari fungsi gelombang yang dapat diterima dan tidak dapat diabaikan ketika kita memerlukan untuk mendapatkan sebuah fungsi gelombang dengan memecahkan persamaan gelombang.
Sebelum mengakhiri bagian ini, adalah penting untuk mencatat bahwa pentingnya persamaan gelombang pada mekanika kuantum.

1. Keadaan dari sebuah sistem dinyatakan dengan fungsi gelombang.
2. Probabilitas sebuah partikel akan ditemukan pada sebuah posisi adalah sebanding dengan kuadrat dari nilai absolut persamaan gelombang.
3. Fungsi gelombang akan memiliki perubahan terhadap waktu mengikuti persamaan.