Atom dengan elektron banyak

Masalah untuk menentukan gerakan elektron-elektron di dalam sembarang atom yang memiliki banyak elektron adalah tidak mudah sebagaimana masalah dalam atom hidrogenik. Ini kebanyakan dikarenakan oleh dua alasan sebagai berikut. Alasan pertama adalah disebabkan oleh interaksi antara elektron-elektron yang tidak membolehkan sebuah perlakuan terhadap gerak bebas dari seluruh elektron yang ada. Alasan lainnya adalah dikarenakan hadirnya momentum sudut dari elektron yang disebut dengan spin elektron yang tidak mudah untuk ditangani. Bahkan untuk sistem dengan dua elektron seperti pada sebuah atom helium, persamaan gelombang tidak dapat dipecahkan secara sederhana dan langsung. Karenanya, metoda pendekatan sangat diperlukan. Pada masa awal kelahiran teori kuantum, tidak terdapat komputer modern sehingga masalah-masalah sistem dengan dua elektron atau lebih (sistem elektron banyak) ditangani dengan metoda aproksimasi seperti metoda gangguan atau variasi yang akan dijelaskan ada Bab 3. Pada masa kini, perlakuan variasi yang cocok untuk komputer modern telah dikembangkan untuk memungkinkan kita melakukan perhitungan dengan lebih mudah dengan beberapa paket program yang konvensional. Dalam bagian ini, karakteristik dari fungsi-fungsi gelombang dan tingkat-tingkat energi untuk atom dengan elektron banyak akan dibandingkan dengan fungsi gelombang dan tingkat energi dari atom-atom hidrogenik.
Kita dapat menyimpulkan di sini bahwa gerakan dari elektron-elektron dapat diperlakukan sama dengan orbital atomik 1s, 2s, 2p_x, 2p_y, 2p_z dalam atom hidrogenik. Meskipun tingkat-tingkat energi dari atom hidrogenik bergantung hanya pada bilangan kuantum utama n, tingkat-tingakat energi untuk atom dengan elektron banyak dengan bilangan kuantum utama yang sama dapat berbeda dikarenakan nilai terendah dari bilangan kuantum azimut akan memberikan tingkat energi yang lebih rendah (lebih stabil). Dalam bagian berikut ini, akan dijelaskan bahwa spin elektron juka akan memungkinkan kita untuk memahami konfigurasi elektron dalam orbital atom dan tingkat-tingkat energinya, dan akan sangat membantu untuk menjelaskan masing-masing sifat dari unsur kimia.

Model elektron independen

Sebagaimana yang disebutkan untuk atom hidrogenik, gerakan dari inti atom dapat diabaikan jika diperbandingkan dengan gerakan elektron. Dengan demikian inti atom dapat dinyatakan dalam posisi tetap yaitu pada posisi keseimbangannya terhadap sistem dengan elektron banyak. Dengan penyederhanaan ini operator Hamiltonian ?? untuk sistem dengan N elektron diberikan oleh persamaan berikut.

(2.31)

Di dalam persamaan ini, yang terdapat dalam tanda kurung [ ] dari suku pertama dapat ditulis sebagai dan merupakan sebuah operator yang berkaitan dengan koordinat dari elektron ke-i. r_ij pada sisi sebelah kanan menyatakan jarak antara elektron ke-i dan j dan suku yang di dalamnya terdapat r_ij menyatakan interaksi antar elektron. Sebagai sebuah pertukaran dari elektron i dan j dalam interaksi antar elektron, hal ini juga akan berlaku untuk pasangan elektron yang sama, i > j yang dinyatakan dalam simbol penjumlahan Σ mengindikasikan untuk melakukan penjumlahan hanya sekali untuk sebuah pasangan i dan j. sama dengan operator Hamiltonian ?? dari sebuah atom hidrogenik dengan (μ = m) kecuali untuk indeks i yang diletakkan pada Δ dan r, dan persamaan karakteristik dan solusinya adalah sebagai berikut.

& phi;_n,l,m adalah orbital atomik yang menyatakan gerak dari sebuah elektron sebagaimana dalam kasus atom hidrogenik. Secara umum, fungsi orbital ini menyatakan gerakan sebuah elektron yang disebut sebagai orbital. Nilai eigen energi ε₀ yang berkaitan dengan orbital, disebut sebagai energi orbital.
Pengabaian interaksi antara elektron dalam suku kedua pada persamaan (2.31) akan menghasilkan Hamiltonian ??₀ dalam bentuk sebagai berikut.

(2.35)

Persamaan eigen untuk ??₀ ini adalah ??₀Φ = EΦ, dan ini dapat dengan mudah untuk dipecahkan dengan persamaan (2.32)-(2.34) untuk memberikan solusi-solusi sebagai berikut.

Di sini, orbital atomik dan energi orbital untuk elektron-elektron pertama ditunjukkan dengan φ_n1 dan ε_n1 dan bukan ditulis dengan φ_n1,l1,m1 dan ε_n1,l1,m1 yang berisi tiga bilangan kuantum dan tertulis secara eksplisit. Penyingkatan ini diaplikasikan pada bagian yang terakhir dari φ_nN, ε_nN.
Dalam kasus hipotetik tanpa interaksi antar elektron, fungsi gelombang dan energi untuk gerakan kolektif elektron dapat diekspresikan dalam bentuk orbital dan energinya untuk gerakan independen dari individual elektron. Gambaran karakteristik untuk model elektron independen dinyatakan sebagai berikut.

[Gambaran karakteristik dari model elektron independen]

1. Fungsi gelombang untuk sebuah sistem elektron banyak dinyatakan sebagai sebuah produk dari fungsi gelombang untuk sistem satu elektron (orbital).
2. Energi untuk sebuah sistem elektron banyak diberikan sebagai sebuah penjumlahan sederhana dari energi-energi untuk sistem sebuah elektron (energi-energi orbital).

Gambaran (1) menunjukkan bahwa probabilitas untuk menemukan sebuah elektron pada suatu posisi diberikan sebagai sebuah produk dari probabilitas untuk menemukan masing-masing elektron. Gambaran (2) menunjukkan bahwa tingkat energi terendah, tingkat dasar, dari sebuah sistem elektron banyak direalisasikan ketika elektron-elektron tersebut secara individual berada dalam tingkat energi terendah. Meskipun keberadaan seluruh elektron dalam orbital 1s adalah dimungkinkan untuk atom-atom H dan He, namun hal ini tidak diijinkan untuk seluruh atom lain yang memiliki bilangan atom Z ≥ 3. Alasannya akan diberikan dalam bagian 2.4, dalam kaitannya dengan spin elektron.

Efek perisai dan model muatan inti efektif

Interaksi antar elektron diabaikan dalam model elektron independen. Akan tetapi pendekatan yang demikian itu tidaklah tepat untuk sistem nyata di mana interaksi antar elektron sangat berarti. Marilah kita meninjau efek interaksi antar elektron dengan menggunakan sebuah model sederhana.
Sekarang kita akan memperkirakan efek dari gaya tolak-menolak yang disebabkan oleh elektron-elektron lain pada sebuah elektron yang bergerak pada jarak r0 dari inti atom. Gaya elektrostatik akan memberikan dua kondisi dari efek interaksi tolak-menolak antar elektron dalam sebuah atom bergantung pada daerah mana elektron lain berada yaitu pada r > r₀ atau r < r₀, dengan mengasumsikan bahwa distribusi elektron berbentuk bola, yaitu:

1. Tidak terdapat gaya-gaya secara rata-rata dari elektron-elektron terluar (r > r₀).
2. Gaya-gaya yang mengarah keluar disebabkan secara rata-rata oleh elektron-elektron di bagian dalam dan efek dari gaya ini akan mengurangi gaya tarik-menarik yang disebabkan oleh muatan inti, sebagaimana jika sebuah elektron ditempatkan pada inti untuk menurunkan muatan ini sebanyak satu muatan.

Efek dari elektron-elektron dalam yang mengurangi gaya-gaya tarik menarik ol eh inti disebut sebagai efek perisai. Besarnya efek perisai adalah lebih besar untuk elektron terluar dibandingkan dengan untuk elektron-elektron dalam. Efek perisai dapat ditinjau secara ekivalen dengan mengganti bilangan atom Z dari inti atom dengan bilangan yang lebih kecil. Perluasan dari reduksi s diperkenalkan sebagai konstanta perisai dan muatan efektif inti didefinisikan sebagai = Z − s. Konstanta perisai s akan merepresentasikan jumlah elektron dalam. Jika sebuah elektron terletak dibagian terluar, maka konstanta perisai untuk elektron ini akan menjadi s = Z-1 dan kemudian akan berhubungan dengan muatan inti efektif dari yang menjadi = Z − (Z − 1) = 1 . Hal ini menjadi sangat penting ketika kita akan mendiskusikan sifat periodisitas energi ionisasi.
Jika kita mengganti Z dalam suku pertama pada persamaan (2.31) dengan bersamaan dengan pengabaian interaksi antar elektron, sebuah Hamiltonian ?? dari sebuah model di mana interaksi antar elektron-elektron secara efektif diperhitungkan di dalam muatan efektif inti yang didefinisikan sebagai , diberikan dengan

(2.39)

Model ini disebut sebagai model muatan inti efektif. Dengan menuliskan ulang suku dalam tanda [ ] dalam persamaan (2.39) dengan _i, kita mendapatkan hasil-hasil yang sama sebagaimana terdapat dalam persamaan (2.36)-(2.38). Ini menggambarkan bahwa gambaran karakteristik yang disebutkan untuk model elektron independen dapat juga berlaku untuk moedel muatan inti efektif. Harus dicatat bahwa energi orbital dalam persamaan (2.33) dimodifikasi dengan mengganti Z dengan , yang bergantung juga pada jenis orbital dan khususnya pada pengaturan dari lokasi elektron dalam dan elektron luar terhadap elektron-elektron lainnya. Model muatan inti efektif sangat berguna untuk membahas konfigurasi elektronik dari atom-atom dan periodisitasnya.

Orbital atomik dan tingkat energi untuk atom berelektron banyak

Berdasarkan pada metoda variasi, sebuah perlakuan teoritis, yang lebih pasti dan rasional dibandingkan dengan model muatan inti efektif, dapat dibentuk untuk mendapatkan fungsi-fungsi orbital dan energi untuk sistem dengan elektron banyak. Gambaran karakteristik dari hasil-hasil dengan cara demikian yaitu dengan metode variasi dijelaskan di bawah ini.
Fungsi orbital atomik φ diberikan sebagai produk dari fungsi radial R‘(r) dan bagian angular (sudut) Y(θ,φ) sebagaimana dalam kasus atom-atom hidrogenik dan orbital atom ini diklasifikasikan dalam sebuah himpunan dari tiga bilangan kuantum n, l dan m.

(2.40)

Y_l,m dalam harmonik sperikal dan R‘(r) yang berbeda dari R(r) untuk atom hidrogenik adalah sebuah fungsi dari r, secara kualitatif sangat mirip dengan fungsi hidrogenik R(r) dalam beberapa hal yang sudah disebutkan berkaitan dengan kelakuan asimtotik dan noda.
Ini akan memberikan pengertian bahwa orbital atomik dapat diklasifikasikan menjadi 1s, 2s, 2p_x, 2p_y, 2p_z, 3_s, 3p_x, 3p_y, 3p_z, 3d_xy, 3d_yz, 3d_zx, 3d_x²-_y², 3d_z²,…, sebagaimana dalam kasus orbital hidrogenik.
Tingkat-tingkat energi dengan bilangan kuantum utama n yang sama terdegenerasi untuk atom hidrogenik, sementara untuk atom dengan elektron banyak yang umum, energi-energi untuk orbital dengan n yang sama dapat berbeda ketika nilainya berbeda; nilai yang kecil akan memberikan energi yang lebih rendah. Sebagai contoh, pengaturan dari energi orbital 3s, 3p, dan 3d untuk atom dengan elektron banyak adalah sebagai berikut:

(2.41)

Alasan untuk hal ini berkaitan dengan besarnya efek perisai. Semakin kecil l akan menghasilkan probabilitas yang lebih besar untuk menemukan elektron-elektron yang dekat dengan inti di mana efek perisai tidak begitu efektif. Karenanya, nilai l yang lebih rendah akan memberikan gaya tarik menarik yang lebih kuat dari inti secara rata-rata dan mengakibatkan energi yang lebih rendah dan stabil. Jika l sama, maka nilai n yang lebih kecil akan memberikan energi yang lebih rendah, sebagaimana dalam kasus atom hidrogenik.


Mulyono Blog's